$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1-2^{x})^{\sin(x)}$

Si arrancamos haciendo un análisis de la situación, estamos frente a una indeterminación de tipo $0^0$. Honestamente, esta indeterminación aparece acá en la guía pero jamás vi que tomen este tipo de límites en un parcial o final, por eso en las clases del curso no vimos ningún ejemplo como este. Ya que estás acá, aprovechamos y te muestro cómo lo podés resolver. Al igual que en el caso anterior, la clave va a estar en reescribir la expresión para poder usar L'Hopital:

Primero, tomamos el logaritmo natural de la función: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln\left[(1-2^{x})^{\sin(x)}\right]$ Reescribimos usando la propiedad de los logaritmos que permite traer el exponente al frente: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sin(x) \cdot \ln(1-2^{x})$

Ahora tenemos una indeterminación del tipo "cero por infinito". Vamos a reescribir el límite como un cociente para poder aplicar L'Hopital.

$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(1-2^{x})}{\frac{1}{\sin(x)}}$

Ahora estamos frente a un "infinito sobre infinito". Aplicamos L'Hopital:

Aclaración: Para calcular estas derivadas tené en cuenta que la derivada de $2^x = 2^x \cdot \ln(2)$

$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{-2^{x} \ln(2)}{1-2^{x}}}{-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2^{x} \ln(2) \sin^2(x)}{\cos(x)(1-2^{x})}$

Ahora tenemos un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más (mucho cuidado con estas derivadas, hay que aplicar regla del producto!)

$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(2) \sin^2(x) \cdot 2^x \ln(2) + 2^x \ln(2) \cdot 2 \sin(x) \cos(x)}{-\sin(x) (1-2^x)- 2^x \cos(x) \ln(2)} = 0$

Ufff, estuvieron cuentosas estas derivadas. Bueno, obtuvimos el resultado y es $0$. Pero ojo, este no es el resultado del límite, no te olvides que habíamos arrancado tomando el logaritmo natural de la función! Entonces, el límite del logaritmo natural es $0$, y por lo tanto, volviendo a la función original, tenemos: